Question

如图，△ABC内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点E，连接AE．已知∠BEC=40°，则∠CAE=______

如图，△ABC内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点E，连接AE．已知∠BEC=40°，则∠CAE=______．

Answer 1

解：∵∠ABC与∠ACD的角平分线相交于点E，
∴∠CBE=

1

2

∠ABC，∠ECD=

1

2

∠ACD，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∠ECD=∠BEC+∠CBE，
∴

1

2

∠ACD=∠BEC+

1

2

∠ABC，
∴

1

2

（∠ABC+∠BAC）=∠BEC+

1

2

∠ABC，
整理得，∠BAC=2∠BEC，
∵∠BEC=40°，
∴∠BAC=2×40°=80°，
过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=EH，
∵CE平分∠ACD，
∴EG=EH，
∴EF=EG，
∴AE是∠CAF的平分线，
∴∠CAE=

1

2

（180°-∠BAC）=

1

2

（180°-80°）=50°．
故答案为：50°．