探究问题:已知AD、BE分别为△ABC 的边BC、AC上的中线,且AD、BE交于点O.(1)△ABC为等边三角形,如图1

探究问题:已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线,且AD、BE交于点O.(1)△ABC为等边三角形,如图1,则AO:OD=______;(2)当小明做完(1)... 探究问题:已知AD、BE分别为△ABC 的边BC、AC上的中线,且AD、BE交于点O.(1)△ABC为等边三角形,如图1,则AO:OD=______;(2)当小明做完(1)问后继续探究发现,若△ABC为一般三角形(如图2),(1)中的结论仍成立,请你给予证明.(3)运用上述探究的结果,解决下列问题:如图3,在△ABC中,点E是边AC的中点,AD平分∠BAC,AD⊥BE于点F,若AD=BE=4.求:△ABC的周长. 展开
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(1)解:连接DE,
∵AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线,
∴DE∥AB,DE=
1
2
AB,
∴△ODE∽△OAB,
∴AO:OD=AB:DE=2:1.
故答案为:2:1;

(2)证明:连接DE,
∵D、E为AC、BC中点,
∴DE∥AB,DE=
1
2
AB,
∴△DOE∽△AOB,
∴AO:OD=AB:DE=2:1.

(3)解:过点C作CG∥BE,交AB延长线于点G,并延长AD交CG于点H.
∵E是边AC的中点,
∴B是边AG的中点,
∴BE是△ACG中位线,
∵AD平分∠BAC,AD⊥BE于点F,
∴∠BAF=∠EAF,∠AFB=∠AFE=90°,
在△ABF和△AEF中,
∠BAF=∠EAF
∠AFB=∠AFE
AF=AF

∴△ABF≌△AEF(AAS),
∴AB=AE,
∵BE∥CG,
∴AB:AG=AE:AC,
∴AG=AC,
∵AF⊥BE,
∴AH⊥CG,
∴H为CG中点,
由上述结果可知:AD:DH=2:1,CD:DB=2:1,
∴DH=
1
2
AD=
1
2
×4=2,
∴AH=AD+DH=6,
∵CG=2BE=8,
∴CH=GH=4,
∵BE为中位线,
∴AF=FH=
1
2
AH=3,
∴DF=AD-AF=4-3=1,
在Rt△DHC中,CD=
CH2+DH2
=
42+22
=2
5

∴BD=
1
2
CD=
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