(2011?恩施州)如图,已知AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线,过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C,垂足为M.(1)求

(2011?恩施州)如图,已知AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线,过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C,垂足为M.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)当BC=BD,且BD=6... (2011?恩施州)如图,已知AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线,过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C,垂足为M.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)当BC=BD,且BD=6cm时,求图中阴影部分的面积(结果不取近似值). 展开
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(1)证明:连接OC.
∵OD⊥BC,O为圆心,
∴OD平分BC.
∴DB=DC,
在△OBD与△OCD中,
OB=OC
DO=DO
DB=DC

∴△OBD≌△OCD.(SSS)
∴∠OCD=∠OBD.
又∵AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线,
∴∠OCD=∠OBD=90°,
∴CD是⊙O的切线;

(2)解:∵DB、DC为切线,B、C为切点,
∴DB=DC.
又DB=BC=6,
∴△BCD为等边三角形.
∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°,
∠OBM=90°-60°=30°,BM=3.
∴OM=BM?tan30°=
3
,OB=2OM=2
3

∴S阴影部分=S扇形OBC-S△OBC
=
120×π×(2
3
) 2
360
-
1
2
×6×
3

=4π-3
3
(cm2).
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