Question

设双曲线C：x2a2?y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，右准线l与两条渐近线交于P，Q两点，右焦点为F，且△

设双曲线C：x2a2?y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，右准线l与两条渐近线交于P，Q两点，右焦点为F，且△PQF为等边三角形．（1）求双曲线C的离心率e的值；（2）若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为b2e2a，求双曲线C的方程；（3）设双曲线C经过点（1，0），以F为左焦点，L为左准线的椭圆，其短轴的端点为B，求BF中点的轨迹方程．

Answer 1

（1）右准线l：x=

a2

c

，两条渐近线方程是y=±

b

a

x，二者联立得，y=±

ab

c

又△PQF为等边三角形
∴

ab c

c? a2 c

=

3

3

得b=

3

a，即c²-a²=3a²，
∴c=2a，
即e=2
（2）有（1）b=

3

a，故双曲线的方程可以变为3x²-y²=3a²
将y=ax+b代入得3x²-（ax+b）²=3a²
整理得（3-a²）x²-2

3

a²x-6a²=0
所以两根之和为

2 3 a2

3?a2

，两根之积为?

6a2

3?a2

由弦长公式得

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