Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．②当x＜0时，f（x）＞0且f

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．②当x＜0时，f（x）＞0且f（1）=-3 两个条件，（1）求证：f（0）=0；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）解不等式f（2x-2）-f（x）≥-12．

Answer 1

（1）证明：令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
（2）解：令y=-x
∴f（0）=f（-x）+f（x）=0
∴f（x）=-f（-x）
∴函数f（x）是奇函数
（3）解：设x₁＜x₂则x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0
∴f（x）为R上减函数
∵f（2x-2）-f（x）=f（2x-2）+f（-x）=f（x-2）≥-12，-12=4f（1）=f（4）
∴x-2≤4即x≤6
∴不等式f（2x-2）-f（x）≥-12的解集为{x|x≤6}