Question

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱为2，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是线段BC，B1C1的中点．（1）

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱为2，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是线段BC，B1C1的中点．（1）证明：A1E∥平面AC1D；（2）证明：平面AC1D⊥平面BCC1B1；（3）求三棱锥B-AC1D的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：连接ED，则ED∥BB₁∥AA₁，且ED=BB₁=AA₁
∴四边形ADEA₁是平行四边形，A₁E∥AD，
∵AD?平面AC₁D，A₁E?平面AC₁D，
∴A₁E∥平面AC₁D．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形
∴AD⊥BC，
∵CC₁⊥平面ABC，AD?平面ABC
∴CC₁⊥AD，
∵BC∩CC₁=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁
∵AD?平面AC₁D
∴平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁
（3）解：BD=1，三棱锥B-AC₁D的体积VB?AC1D＝VC1?ABD=

1

3

×

1

2

BD?AD?CC1=

1

3

×

1

2

×1×

3

×2=

3

3