Question

（2014?揭阳模拟）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长2的正三角形，侧棱与底面垂直，且长为3，D是AC的中

（2014?揭阳模拟）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长2的正三角形，侧棱与底面垂直，且长为3，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求点A到平面A1BD的距离．

Answer 1

（1）证明：连结DM，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，
∴四边形AA₁B₁B是矩形，
∴M为A₁B的中点．
∵D是AC的中点，∴MD是三角形AB₁C的中位线，
∴MD∥B₁C．
∵MD?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）解：设点A到平面A₁BD的距离为h，
∵AA₁⊥平面ABC，BD=

3

，
∴A₁D=2，A₁B=

7

，
∴A₁D⊥BD，
∴S_△A1BD=

1

2

BD?A1D=

3

，
由V_A1-BDA=V_A-A1BD得h=

1 2 × 3 × 3

3

=

3

2

．