Question

已知抛物线y=ax 2 +2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析

已知抛物线y=ax 2 +2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） （2）（1，2）（3）存在，（  ， ）

解：（1）∵抛物线y=ax 2 +2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3）， ∴ ，解得 。 ∴抛物线的解析式为： 。 （2）∵ ，∴对称轴为x=1。 令 ，解得x 1 =3，x 2 =－1，∴C（－1，0）。 如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点， 由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小。 设直线AB的解析式为y=kx+b， 由A（3，0）、B（0，3）可得： ，解得 。 ∴直线AB解析式为y=－x＋3。 当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）。 （3）结论：存在。 如图2，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点， 过点P作PN⊥x轴于点N， 则ON=x，PN=y，AN=OA－ON=3－x． ∵P（x，y）在抛物线上，∴ ，代入上式得： 。 ∴当x= 时，S △ ABP 取得最大值。 当x=  时， ，∴P（ ，  ）。 ∴在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大，P点的坐标为（  ， ）。 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。 （2）连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点．为求D点坐标，求出直线AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D点坐标。 （3）求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标。