Question

已知函数 f(x)= ax+b x 2 +1 的值域是[-1，4]，则a 2 b的值是______

已知函数 f(x)= ax+b x 2 +1 的值域是[-1，4]，则a 2 b的值是______．

Answer 1

因为 f(x)= ax+b x 2 +1 ，设y= ax+b x 2 +1 ， 所以 yx 2 -ax+y-b=0，（1） 当y不等于0时，因关于x的一元二次方程（1）有解，所以 △=a 2 -4y（y-b）≥0，即4y 2 -4by-a 2 ≤0， 由题意知，y 1 =-1，y 2 =4是一元二次方程4y 2 -4by-a 2 =0的两个解， 所以，4+4b-a 2 =0，（2） 64-16b-a 2 =0，（3） 由（2），（3）解得 a 2 =16，b=3， 因此，a 2 b=48． 故答案为：48．