设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1＝2Sn+n+1(n∈N*)，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝n
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1＝2Sn+n+1(n∈N*)，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝nan+1?an，数列{bn}的前项和为...
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1＝2Sn+n+1(n∈N*)，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝nan+1?an，数列{bn}的前项和为Tn，n∈N*证明：Tn＜2．
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（Ⅰ）∵Sn+1＝2Sn+n+1(n∈N*)
当n≥2时，Sn=2Sn-1+n，两式相减得，
an+1=2an+1，两边加上1得出an+1+1=2（an+1），
又S2=2S1+1，a1=S1=1，∴a2=3，a2+1=2（a1+1）
所以数列{an+1}是公比为2的等比数列，首项a1+1=2，
数列{an+1}的通项公式为an+1=2?2n-1=2n，
∴an=2n-1
（Ⅱ）∵an=2n-1，
∴bn=
=
=
Tn=
+
+
+… +
Tn=
+
+…+
+
两式相减得
Tn=
+
+
+…+
?
Tn=2（
+
+
+…+
?
当n≥2时，Sn=2Sn-1+n，两式相减得，
an+1=2an+1，两边加上1得出an+1+1=2（an+1），
又S2=2S1+1，a1=S1=1，∴a2=3，a2+1=2（a1+1）
所以数列{an+1}是公比为2的等比数列，首项a1+1=2，
数列{an+1}的通项公式为an+1=2?2n-1=2n，
∴an=2n-1
（Ⅱ）∵an=2n-1，
∴bn=
| n |
| (2n+1?1)?(2n?1) |
| n |
| 2n+1?2n |
| n |
| 2n |
Tn=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| n |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 2 |
| 23 |
| n?1 |
| 2n |
| n |
| 2n+1 |
两式相减得
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n |
| n |
| 2n+1 |
Tn=2（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n |
| n |
2
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