Question

已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若对

已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，有f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，f（1）=-2，
∴f′(x)＝2x?3+

1

x

，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=0；
所以在点（1，f（1））处的切线方程为 y=-2；
（2）令g（x）=f（x）+2x=ax²-ax+lnx，（x＞0）；
由题意知g（x）在（0，+∞）单调递增，所以g'（x）=2ax-a+

1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，即2ax²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立；
令h（x）=2ax²-ax+1，（x＞0）；
则①若a=0，h（x）=1≥0恒成立，
②若a＜0，二次函数h（x）≥0不恒成立，舍去
③若a＞0，二次函数h（x）≥0恒成立，只需满足最小值h(

1

4

)≥0，即

a

8

?

a

4

+1≥0，解得0＜a≤8；
综上，a的取值范围是[0，8]．