Question

已知函数f(X)=(ax-x)lnx-1/2ax+x,当a=0时,求曲线y=f(X)在e<x<f(e)处切线方程 求函数f(X)的单调区间

Answer 1

1，由f（x）=ax∧2－（a+2）x+lnx 得 f′（x）=2ax－（a+2）+1/x 当a=1，x=1时 f（1）=-2 f′（1）=2－3+1=0 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程 y=-2 2，f'(x)=2ax-(a+2)+1/x =[2ax^2-(a+2)x+1]/x, =2a(x-1/2)(x-1/a)/x, 0<a<2时1/a>1/2 a>2时1/a<1/2. （1) a>1时1/a<1，f'(x)>0 (x∈[1,e]), f(x)|min=f(1)=-2，满足题设。 （2) 1/e<=a<=1时1<=1/a<=e， f(x)|min=f(1/a)=1/a-(a+2)/a-lna=-2， (a-1)/a=lna,① 设g(x)=xlnx-x+1，1/e<=x<=1，, g'(x)=lnx<=0， 所以g(x)减函数，g(1)=0， 所以①有唯一解a=1。. （3)0<a<1/e时f'(x)<0，f(x)|min=f(e)=ae^2-(a+2)e+1=-2， a(e^2-e)=2e-3 a=(2e-3)/(e^2-e)>1/e(舍）。 综上，a>=1.

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