Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在 x= 1 2 处的切线的斜率；（

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在 x= 1 2 处的切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=2 x -2，若存在x 1 ∈（0，+∞），对于任意x 2 ∈[0，1]，使f（x 1 ）≥g（x 2 ），求a的范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，∴ f′(x)= ax+1 x （x＞0） 若a=-1， k= f ′ ( 1 2 )=-1+2=1 （Ⅱ）当a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为增函数 当a＜0，令f ′ （x）＞0，∴ 0＜x＜- 1 a ，f ′ （x）＜0，∴ x＞- 1 a ， 综上：a≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，- 1 a ），单调减区间为（- 1 a ，+∞ ）； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≥0时，符合题意； 当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，- 1 a ），单调减区间为（- 1 a ，+∞ ） ∴ f(x ) max =f(- 1 a )=-1+ln(- 1 a ) 由题意知，只需满足f（x） max ≥g（x） max =g（1）=0，∴ -1+ln(- 1 a )≥0 ， ∴ - 1 e ≤a＜0 综上： a≥- 1 e