Question

已知函数fx=ax+lnx （ a属于R） 1，若a等于2，求曲线y=fx在x=1处上切线的斜率

已知函数fx=ax+lnx （ a属于R）

1，若a等于2，求曲线y=fx在x=1处上切线的斜率。2，求fx的单调区间
3.设gx=x²－2x+2,若对于任意x1属于﹙0,正无穷﹚，均存在x2属于[0,1]，使得fx1<fx2,求a的取值范围

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知 f′(x)=2+1x(x＞0)，则f'（1）=2+1=3．
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；
（Ⅱ） f′(x)=a+1x=ax+1x(x＞0)．
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，由f'（x）=0，得 x=-1a．
在区间 (0，-1a)上，f'（x）＞0，在区间 (-1a，+∞)上f'（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为 (0，-1a)，单调递减区间为 (-1a，+∞)；
（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）min．
由x∈[0，1]，得到g（x）min=g（-1）=1，
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
当a＜0时，f（x）在 (0，-1a)上单调递增，在 (-1a，+∞)上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值， f(-1a)=-1+ln(1-a)=-1-ln(-a)，
所以1＞-1-ln（-a），解得 a＜-1e2．