Question

如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD= AC,AE= AB,BD,CE相交于点F. （Ⅰ）求证:A,E,F,D四点共

如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD= AC,AE= AB,BD,CE相交于点F. （Ⅰ）求证:A,E,F,D四点共圆;（Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.

Answer 1

(1)证明过程详见解析；（2） .

试题分析：本题以正三角形为几何背景，考查四点共圆问题以及相似三角形问题，考查学生的转化与化归的能力.第一问，利用已知条件中边的比例关系可得出结论 ，再利用三角形相似，得出 ，所以 ，所以可证 四点共圆；第二问，根据所给正三角形的边长为2，利用已知的比例关系，得出各个小边的长度，从而得出 为正三角形，所以得出 ，所以 是 所在圆的圆心，而 是半径，即为 . 试题解析：(Ⅰ)证明:∵ ,   ∴ , ∵在正 中, , ∴ , 又∵ , , ∴ , ∴ , 即 ,所以 四点共圆.               5分 (Ⅱ)解:如图, 取 的中点 ,连接 ,则 , ∵ , ∴ , ∵ , , ∴ 为正三角形, ∴ ,即 , 所以点 是 外接圆的圆心,且圆 的半径为 . 由于 四点共圆,即 四点共圆 ,其半径为 .           10分