Question

已知函数f（x）=x2+4ax+2a+6．（1）若函数f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；（2）若函数f（x）≥0恒成

已知函数f（x）=x2+4ax+2a+6．（1）若函数f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；（2）若函数f（x）≥0恒成立，求函数g（a）=2-a|a+3|的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）=（x+2a）²+2a+6-4a²的值域为[0，+∞），∴-4a²+2a+6=0，解得a=-1或

3

2

．
（2）∵函数f（x）≥0恒成立，∴△=16a²-4（2a+6）≤0，解得?1≤a≤

3

2

．
∴g（a）=2-a|a+3|=2-a（a+3）=?(a+

3

2

)2+

17

4

．
∵g（a）在区间[?1，

3

2

]单调递减，∴g（a）_min=g（

3

2

）=-

19

4

，g（a）_max=g（-1）=4．
∴函数g（a）的值域为[?

19

4

，4]．