Question

如图，M为正方形ABCD边AB上一点，BP⊥CM于P点，PN⊥PD交BC于N．求证：BM=BN

如图，M为正方形ABCD边AB上一点，BP⊥CM于P点，PN⊥PD交BC于N．求证：BM=BN．

Answer 1

解答：证明：∵BP⊥MC，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
又∵∠PCB+∠PCD=90°，
∴∠PBC=∠PCD．
∵PD⊥PN，
∴∠DPN=90°．
∵∠BPC=∠BPN+∠CPN=90°，∠DPN=∠DPC+∠CPN=90°，
∴∠BPN=∠DPC．
∴△PBN∽△PCD（两角对应相等的两个三角形相似）．
∴

BN

BP

=

CD

PC

．
又∵BP⊥MC，
∴△PBM∽△PCB，
∴

BM

BP

=

BC

PC

．
∵BC=CD，
∴

BN

BP

=

BM

BP

．
∴BN=BM．

Answer 2

证明：
∵BP⊥MC，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
又∵∠PCB+∠PCD=90°，
∴∠PBC=∠PCD．
∵PD⊥PN，
∴∠DPN=90°．
∵∠BPC=∠BPN+∠CPN=90°，∠DPN=∠DPC+∠CPN=90°，
∴∠BPN=∠DPC．
∴△PBN∽△PCD（两角对应相等的两个三角形相似）．
∴ BN/BP = CD/PC
又∵BP⊥MC，
∴△PBM∽△PCB，
∴ BM/BP = BC/PC
∵BC=CD，
∴BN/BP = BM/BP
∴ BN=BM．

Answer 3