
如图,M为正方形ABCD边AB上一点,BP⊥CM于P点,PN⊥PD交BC于N.求证:BM=BN
如图,M为正方形ABCD边AB上一点,BP⊥CM于P点,PN⊥PD交BC于N.求证:BM=BN....
如图,M为正方形ABCD边AB上一点,BP⊥CM于P点,PN⊥PD交BC于N.求证:BM=BN.
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解答:证明:∵BP⊥MC,
∴∠PBC+∠PCB=90°,
又∵∠PCB+∠PCD=90°,
∴∠PBC=∠PCD.
∵PD⊥PN,
∴∠DPN=90°.
∵∠BPC=∠BPN+∠CPN=90°,∠DPN=∠DPC+∠CPN=90°,
∴∠BPN=∠DPC.
∴△PBN∽△PCD(两角对应相等的两个三角形相似).
∴
=
.
又∵BP⊥MC,
∴△PBM∽△PCB,
∴
=
.
∵BC=CD,
∴
=
.
∴BN=BM.
∴∠PBC+∠PCB=90°,
又∵∠PCB+∠PCD=90°,
∴∠PBC=∠PCD.
∵PD⊥PN,
∴∠DPN=90°.
∵∠BPC=∠BPN+∠CPN=90°,∠DPN=∠DPC+∠CPN=90°,
∴∠BPN=∠DPC.
∴△PBN∽△PCD(两角对应相等的两个三角形相似).
∴
BN |
BP |
CD |
PC |
又∵BP⊥MC,
∴△PBM∽△PCB,
∴
BM |
BP |
BC |
PC |
∵BC=CD,
∴
BN |
BP |
BM |
BP |
∴BN=BM.
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证明:
∵BP⊥MC,
∴∠PBC+∠PCB=90°,
又∵∠PCB+∠PCD=90°,
∴∠PBC=∠PCD.
∵PD⊥PN,
∴∠DPN=90°.
∵∠BPC=∠BPN+∠CPN=90°,∠DPN=∠DPC+∠CPN=90°,
∴∠BPN=∠DPC.
∴△PBN∽△PCD(两角对应相等的两个三角形相似).
∴ BN/BP = CD/PC
又∵BP⊥MC,
∴△PBM∽△PCB,
∴ BM/BP = BC/PC
∵BC=CD,
∴BN/BP = BM/BP
∴ BN=BM.
∵BP⊥MC,
∴∠PBC+∠PCB=90°,
又∵∠PCB+∠PCD=90°,
∴∠PBC=∠PCD.
∵PD⊥PN,
∴∠DPN=90°.
∵∠BPC=∠BPN+∠CPN=90°,∠DPN=∠DPC+∠CPN=90°,
∴∠BPN=∠DPC.
∴△PBN∽△PCD(两角对应相等的两个三角形相似).
∴ BN/BP = CD/PC
又∵BP⊥MC,
∴△PBM∽△PCB,
∴ BM/BP = BC/PC
∵BC=CD,
∴BN/BP = BM/BP
∴ BN=BM.
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