Question

设m为整数，且关于x的方程mx 2 +2（m-5）x+m-4=0有整数根，则m的值为 ______

设m为整数，且关于x的方程mx 2 +2（m-5）x+m-4=0有整数根，则m的值为 ______．

Answer 1

∵关于x的方程mx 2 +2（m-5）x+m-4=0有整数根， ∴△=4（m-5） 2 -4m（m-4）≥0， ∴m≤ 25 6 ， ∵- 2(m-5) m 与 m-4 m 为整数， ∴m=±1，±2． （1）若m=0，方程为-10x-4=0，x= 2 5 根不是整数； （2）m≠0时，方程有根，那么△≥0，即△=4（m-5） 2 -4m（m-4）=100-24m=4（25-6m）≥0， ∴m≤ 25 6 ， 方程的根为x= -2(m-5)± 4(m-5 ) 2 -4m(m-4) 2m = 5-m± 25-6m m ∵方程有整根， ∴25-6m一定是个平方数，而且满足m≤ 25 6 ， ∴设25-6m=k 2 （k＞0且k为整数），则m= 25- k 2 6 = (5-k)(5+k) 6 ∴方程根为 5 m -1± k m = 5±k m -1， 将m= 25- k 2 6 代入得， 6(5±k) (5-k)(5+k) -1， ∴方程两个根可以写成x 1 = 6 5-k -1，x 2 = 6 5+k -1， 若x 1 是整数， ∴只有当k=2，3，4，6，7，8，11时， 6 5-k 为整数．其对应的m分别为 21 6 ， 16 6 ， 6 9 ，-4， 39 6 ，-16， 若x 2 是整数，则只有当k=1时， 6 5+k 为整数， 对应的m=4．其中m是整数的只有m=-4，4，-16． ∴m的值为-4，4，-16．