如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴

如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交... 如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少；（3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标． 展开
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#热议# 不吃早饭真的会得胆结石吗？
udun648
2014-12-14 · 超过59用户采纳过TA的回答
知道答主
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（1）∵抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3），由题意，得
0=a-b+c
0=9a+3b+c
3=c
，
解得：
a=-1
b=2
c=3

∴抛物线的解析式为：y=-x 2 +2x+3，
∴y=-（x-1） 2 +4，
∴D（1，4）；

（2）∵PQ⊥x轴，
∴P、Q的横坐标相同，
∵P点在直线y=x-1上，设P（a，a-1），则Q（a，-a 2 +2a+3），
∴PQ=-a 2 +2a+3-a+1=-a 2 +a+4，
∴PQ=-（a-
1
2
） 2 +
17
4
，
∴当a=
1
2
时，线段PQ最长为
17
4
，则P点坐标为（
1
2
，-
1
2
）；

（3）∵E为线段OC上的三等分点，且OC=3，
∴E（0，1）或E（0，2），
设P（p，p-1）（在y=x-1上），则Q（p，-p 2 +2p+3）．
当E（0，1）时，
∵EP=EQ，
∴（p-0） 2 +（p-1-1） 2 =（p-0） 2 +（-p 2 +2p+3-1） 2 ，
∴p 2 +（p-2） 2 =p 2 +（p 2 -2p-2） 2 ，
（p-2） 2 =（p 2 -2p-2） 2 ，
①当 p 2 -2p-2=p-2时，
∴p（p-3）=0，
∴p=0或3，
当p=0，P（0，-1），Q（0，3），
当p=3，P（3，2），Q（3，0），
过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，
∴x-1=-x 2 +2x+3，
解得：x 1 =
1-
 17
2
，x 2 =
1+
 17
2
，
M的横坐标为
1-
 17
2
，N点的横坐标为
1+
 17
2
，
∴P点横坐标：大于等于
1-
 17
2
小于等于
1+
 17
2
，
∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去；
②p 2 -2p-2=-p+2，
整理得：p 2 -p-4=0，
解得：P 1 =
1-
 17
2
，p 2 =
1+
 17
2
，
∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，
∴x-1=-x 2 +2x+3，
解得：x 1 =
1-
 17
2
，x 2 =
1+
 17
2
，
M的横坐标为
1-
 17
2
，N点的横坐标为
1+
 17
2
，
∵过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∴P点横坐标：大于等于
1-
 17
2
小于等于
1+
 17
2
，
当E（0，2）时，
∵EP=EQ，
∴（p-0） 2 +（p-1-2） 2 =（p-0） 2 +（-p 2
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