Question

如图，已知△ABC是面积为 3 的等边三角形，△ABC ∽ △ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相

如图，已知△ABC是面积为 3 的等边三角形，△ABC ∽ △ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于______（结果保留根号）．

Answer 1

∵△ABC ∽ △ADE，AB=2AD， ∴ S △ADE S △ABC = AD 2 AB 2 ， ∵AB=2AD，S △ABC = 3 ， ∴S △ADE = 3 4 ， 如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H， 则∠AFH=45°，∠EFH=30°， ∴AH=HF， 设AH=HF=x，则EH=xtan30°= 3 3 x． 又∵S △ADE = 3 4 ， 作CM⊥AB交AB于M， ∵△ABC是面积为 3 的等边三角形， ∴ 1 2 ×AB×CM= 3 ， ∠BCM=30°， AB=2k，BM=k，CM= 3 k， ∴k=1，AB=2， ∴AE= 1 2 AB=1， ∴x+ 3 3 x=1， 解得x= 3 3+ 3 = 3- 3 2 ． ∴S △AEF = 1 2 ×1× 3- 3 2 = 3- 3 4 ．