Question

如图所示，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以V0=2m/s的初速度水平抛出，到达C

如图所示，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以V0=2m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向（与OC垂直），进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=3kg的长木板，注意长木板也是固定的．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.2，圆弧轨道的半径为R=0.4m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=60°，不计空气阻力，g取10m/s2．求：（1）AB的高度h为多大？（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时的速度及对轨道的压力；（3）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多大？

Answer 1

（ 1 ） 小物块在C点时的速度为：vC＝

v0

cos60°

＝

2

0.5

m/s＝4m/s
A到C的过程中机械能守恒，得：

1

2

m

v

2 0

+mgh＝

1

2

m

v

2 C

代入数据解得：h=0.6m   
（2）小物块由C到D的过程中，由动能定理得：mgR(1?cos60°)＝

1

2

m

v

2 D

?

1

2

m

v

2 C

代入数据解得：vD＝2

5

m/s   
小球在D点时由牛顿第二定律得：FN?mg＝

m v 2 D

R

，
代入数据解得：F_N=60N
由牛顿第三定律得：F'_N=F_N=60N，方向竖直向下．
（3）对物块和木板系统，系统在水平方向不受力，系统的动量守恒，选取向左为正方向，则小物块最终于木板速度相等，物块滑到长木板的最右端，两者速度相等时木板的长度最小．设它们共同的速度是v，由动量守恒定律得：
mv_D=（M+m）v
得：v＝

mvD

M+m

＝

1×2 5

1+3

m/s＝0.5

5

m/s
由能量守恒定律得：μmgL＝

1

2

m

v

2 D

?

1

2

(m+M)v2
代入数据解得：L=3.75m，即木板的长度至少是3.75m．    
答：（1）AB的高度h为0.6m．
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力为60N；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少为3.75m．