Question

如图，已知∠AOB=45°，P是∠AOB内部一点，且OP=2，点E、F分别在OA、OB上，则△PEF周长的最小值等于_____

如图，已知∠AOB=45°，P是∠AOB内部一点，且OP=2，点E、F分别在OA、OB上，则△PEF周长的最小值等于______．

Answer 1

解答：解：作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，
任意取OA上一点Q，OB上一点R，
由对称点的性质：QM=QP，RN=RP
所以三角形PQR的周长=PQ+QR+RP=MQ+QR+RN．
由两点间直线最短，
所以只有当Q，R在线段MN上时，上面的式子取最小值．
也就是说只要连接MN，它分别与OA，OB的交点E，F即为所求．
这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN的长就行了．
容易知道OM=ON=OP=

2

，∠MOA=∠AOP，∠POB=∠BON．
所以∠MON=∠MOA+∠AOP+∠POB+∠BON=2（∠AOP+∠POB）=2∠AOB=90度．
所以三角形MON是等腰直角三角形，直角边等于

2

，易求得斜边MN=2，
也就是说，三角形PEF的周长的最小值=MN=2．