Question

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．（1）．函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为______．（2）．若函数g(x)=13x3-12x2+3x-512+1x-12，则g(12013)+g(22013)+g(32013)+…+g(20122013)=______．

Answer 1

（1）依题意，f'（x）=3x²-6x+3，
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=1，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．
∴函数f（x）=x³-3x²+3x的对称中心为（1，2）；
故答案为：（1，2）；
（2）∵g（x）+g（1-x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

+

1

3

(1-x)3-

1

2

(1-x)2+3（1-x）-

5

12

+

1

1-x- 1 2

=2，
∴g（x）的图象关于点（

1

2

，1）对称，
∴g（

1

2013

）+g（

2

2013

）+g（

3

2013

）+…+g（

2012

2013

）
=[g（

1

2013

）+g（

2012

2013

）]+[g（

2

2013

）+g（

2011

2013

）]+…+[g（

1006

2013

）+g（

1007

2013

）]
=2×1006=2012，
故答案为：2012．