Question

已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和．（I）设S3＝32，S6＝2116，求an；（II）若S4，S10，S7成等差数

已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和．（I）设S3＝32，S6＝2116，求an；（II）若S4，S10，S7成等差数列，证明a1，a7，a4也成等差数列．

Answer 1

（I）设等比数列{a_n}的公比等于q，则由S3＝

3

2

，S6＝

21

16

 可得

a1(1?q3)

1?q

＝

3

2

，且

a1(1?q6)

1?q

＝

21

16

，两式相除解得q=-

1

2

，代入其中一式可得 a₁=2．
故通项公式 a_n =2×(?

1

2

)n?1=(?

1

2

)n?2．
（II）由S₄，S₁₀，S₇成等差数列，可得q≠1，2×

a1(1?q10)

1?q

=

a1(1?q4)

1?q

+

a1(1?q7)

1?q

．
故有 2q¹⁰=q⁴+q⁷，化简得 1+q³=2q⁶，∴a₁+a₁q³=a₁q⁶，
即 a₁+a₄=2a₇，故a₁，a₇，a₄也成等差数列．