Question

若点G为△ABC的重心（三角形三边上中线的交点）且AG⊥BG，则cos（A+B）的最大值为______

若点G为△ABC的重心（三角形三边上中线的交点）且AG⊥BG，则cos（A+B）的最大值为______．

Answer 1

根据题意画出相应的图形，如图所示， ∵AD⊥BE，∴△ABG，△BDG，△EDG，△AGE都为直角三角形， 设AB=c，BC=a，AC=b， ∵D、E分别为BC、AC的中点， ∴BC= 1 2 a，AE= 1 2 b，DE= 1 2 c， 根据勾股定理得：AG 2 +BG 2 =c 2 ①，GD 2 +GE 2 = 1 4 c 2 ②， AG 2 +GE 2 = 1 4 b 2 ③，BG 2 +DG 2 = 1 4 a 2 ④， （①+②）-（③+④）得： 5 4 c 2 = 1 4 （a 2 +b 2 ），即c 2 = 1 5 （a 2 +b 2 ）， 在△ABC中，cosC= a 2 + b 2 - c 2 2ab = 2 5 ? a 2 + b 2 ab ≥ 4 5 ， 当且仅当a=b时，cosC最小值为 4 5 ， ∵cos（A+B）=-cosC， ∴cos（A+B）的最大值为- 4 5 ． 故答案为：- 4 5