Question

如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边

如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G，连接EG、DF、CF．（1）△AEG、△DFC是直角三角形；（2）EG∥DF；（3）CG=14AD；（4）若CGBG＝k，则ADAB＝k+12．上述说法正确的有（　　）个．A．4B．3C．2D．1

Answer 1

连接EG，如图，
∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴ED=EF，∠AED=∠AEF，∠AFE=∠ADE=90°，
∵ED=EC，
∴EC=EF，
在Rt△EGF和Rt△EGC中

EG＝EF EG＝EG

，
∴Rt△EGF≌Rt△EGC，
∴∠CEG=∠FEG，
∴∠AEG=

1

2

∠DEF+

1

2

∠CEF=

1

2

×180°=90°，
∴△AEG为直角三角形；
∵EF=ED=EC，
∴△DFC为直角三角形，所以（1）正确；
∵∠AEG=90°，
∴EG⊥AE，
∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴DF⊥AE，
∴EG∥DF，所以（2）正确；
∵Rt△EGF≌Rt△EGC，
∴CG=FG，
设CG=k，BG=1，则BC=k+1，FG=k，
∴AD=k+1，
∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴AF=AD=k+1，
∴AG=AF+FG=2k+1，
在Rt△ABG中，
AB=

AF2?BG2

=

(2k+1)2?12

=2

k2+k

，
∴

AD

AB

=

k+1

2 k2+k

=

k+1

2 k

，所以（4）错误；
当k=

1

3

时，即

CG

BG

=

1

3

时，CG=

1

4

BC=

1

4

AD，所以（3）错误．
故选B．