Question

如图，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（

如图，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若AC=8，求EG2+FH2的值．

Answer 1

（1）解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=

1

2

BD，EF=HG=

1

2

AC，
又∵AC=BD，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四边形EFGH是菱形；

（2）如图，设EG与HF交于点O．
由（1）知，四边形EFGH是菱形，则EG⊥FH，EG=2OE，FH=2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE²+OH²=EH²=16，
等式两边同时乘以4得：4OE²+4OH²=16×4=64，
∴（2OE）²+（2OH）²=64，
即EG²+FH²=64．