Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1=1，且a1，a2，a7成等比数列．（1）求数列{an}的前n项和Sn

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1=1，且a1，a2，a7成等比数列．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）设bn=2Sn2n?1，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：2Tn-9bn-1+18＞64bn(n+9)bn+1（n＞1）．

Answer 1

（1）∵a₁，a₂，a₇成等比数列，
∴a₂²=a₁?a₇，即（a₁+d）²=a₁（a₁+6d），
又a₁=1，d≠0，∴d=4．
∴S_n=na₁+

n(n?1)

2

d=n+2n（n-1）=2n²-n．
（2）证明：由（1）知b_n=

2Sn

2n?1

=

2n(2n?1)

2n?1

=2n，
∴{b_n}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴T_n=

n(2+2n)

2

=n²+n，
∴2T_n-9b_n-1+18=2n²+2n-18（n-1）+18
=2n²-16n+36=2（n²-8n+16）+4=2（n-4）²+4≥4，当且仅当n=4时取等号．①

64bn

(n+9)bn+1

＝

64×2n

(n+9)×2(n+1)

=

64n

n2+10n+9

＝

64

n+ 9 n +10

≤

64

6+10

＝4.
当且仅当n＝

9

n

即n=3时，取等号．②
∵①②中等号不能同时取到，∴2Tn?9bn?1+18＞

64bn

(n+9)bn+1

(n＞1)．