Question

已知函数f（x）=（x-a）2ex在x=2时取得极小值．（1）求实数a的值；（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）

已知函数f（x）=（x-a）2ex在x=2时取得极小值．（1）求实数a的值；（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）f'（x）=e^x（x-a）（x-a+2），
由题意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．              
当a=2时，f'（x）=e^xx（x-2），
易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；
当a=4时，f'（x）=e^x（x-2）（x-4），
易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4），（4，+∞）上为减函数，不符合题意．
所以，满足条件的a=2．                            
（2）因为f（x）≥0，所以m≥0．                    
①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4＜e⁴n，所以（n-2）²eⁿ=e⁴n．    
设g(x)＝

(x?2)2

x

ex(x≥2)，则g′(x)＝[

x2?4

x2

+

(x?2)2

x

]ex≥0，
所以g（x）在[2，+∞）上为增函数．
由于g（4）=e⁴，即方程（n-2）²eⁿ=e⁴n有唯一解为n=4．
②若m＞0，则2?[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2．
（Ⅰ）n＞m＞2时，

f(m)＝(m?2)2em＝e4m f(n)＝(n?2)2en＝e4n

，
由①可知不存在满足条件的m，n．       
（Ⅱ）0＜m＜n＜2时，

(m?2)2em＝e4n (n?2)2en＝e4m

，
两式相除得m（m-2）²e^m=n（n-2）²eⁿ．
设h（x）=x（x-2）²e^x（0＜x＜2），
则h'（x）=（x³-x²-4x+4）e^x
=（x+2）（x-1）（x-2）e^x，
h（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，
由h（m）=h（n）得0＜m＜