Question

设函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（1）若x=1时，函数f（x）取得极值，求函数f（x）的图象在x=-1处的切线

设函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（1）若x=1时，函数f（x）取得极值，求函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间(12，1)内不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=3x²+2ax+1由f'（1）=0得a=-2
∴f（x）=x³-2x²+x+1
当x=-1时，y=-3即切点（-1，-3）
k=f'（x₀）=3x₀²-4x₀+1令x₀=-1得k=8
∴切线方程为8x-y+5=0
（2f（x）在区间(

1

2

，1)内不单调即f′（x）=0在(

1

2

，1)有解
∴3x²+2ax+1=0在(

1

2

，1)有解
∴2a＝?3x?

1

x

令h（x）=?3x?

1

x

∴令h′(x)＝?3+

1

x2

＜0解得

3

3

＜x＜1
令h′(x)＝?3+

1

x2

＞0解得

1

2

＜x＜

3

3

知h（x）在(

3

3

，1)单调递减，在(

1

2

，

3

3

)单调递增
∴h(1)＜h(x)≤h(

3

3

)
即h（x）∈[?4，?2

3

]
∴?4＜2a≤?2

3

即?2＜a≤?

3

而当a＝?

3

时，f′(x)＝3x2?2

3

x+1＝(

3

x?1)2≥0
∴舍去
综上a∈(?2，?

3

)