Question

已知函数f（x）=kx2+（k-1）x（k为常数）（1）若k=2，解不等式f（x）＞0；（2）若k＞0，解不等式f（x）＞

已知函数f（x）=kx2+（k-1）x（k为常数）（1）若k=2，解不等式f（x）＞0；（2）若k＞0，解不等式f（x）＞0；（3）若k＞0，且对于任意x∈[1，+∞），总有g（x）=f(x)+1x≥1成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）若k=2，则不等式f（x）＞0可化为2x²+x＞0，
解之，得{x|x＞0，或x＜-

1

2

}．
（2）若k＞0，则不等式f（x）＞0可转化为kx?（x-

1?k

k

）＞0，
当0＜k＜1时，

1?k

k

＞0，此时x＞

1?k

k

或x＜0，
当k＞1时，

1?k

k

＜0，此时x＜

1?k

k

，或x＞0．
当k=0时，f（x）=x²＞0，此时x≠0，
综上所述：当0＜k＜1时，x∈(?∞，0)∪(

1?k

k

，+∞)，
当k＞1时，

1?k

k

＜0，此时，x∈(?∞，

1?k

k

)∪(0，+∞)，
当k=1时，f（x）=x²＞0，
此时，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
（3）因为k＞0，x＞0，
所以g(x)＝

f(x)+1

x

=kx+

1

x

+k-1≥2

kx? 1 x

+k-1=2

k

+k-1，
当且仅当kx=

1

x

（x＞0），即x=

1 k

时取等号，
又x∈[1，+∞），所以当0＜k≤1时，x=

1 k

∈[1，+∞），上述等到可以取到．
此时，由2

k

+k?1≥ 1，得k≥4?2

3

，
∵0＜k≤1，故k∈[4?2

3

，1]；
当k＞1，x=

1 k

∈[1，+∞），上述等号取不到，
此时g（x）=

f(x)+1

x

＝kx+

1

x

+k?1在[1，+∞）上是增函数，
故g（x）_min=g（1）=2k，
由2k≥1，得k≥

1

2

，∵k＞1，∴k∈[1，+∞），
综上可知k∈[1?2

3

，1]∪[1，+∞）=[4-2

3

，+∞）．