Question

已知f（x）=|x2-1|+x2+kx； （Ⅰ）若k=-1，求方程f（x）=0的解；

（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1、x2，求k的取值范围，并证明1/x1+1/x2＜4

Answer 1

(I)若k=-1，f(x)=|x^2-1|+x^2-x
令f(x)=0即|x^2-1|+x^2-x=0
当x^2-1>=0时 上式简化为x^2-1+x^2-x=0 即2*x^2-x-1=0 即(x-1)(2x+1)=0 方程的解为x=1或x=-1/2。因为x^2>=1，因此解x=1满足要求。
当x^2-1<0时，上式化简为1-x^2+x^2-x=0 即x=1，由于x^2<1，所以此时无解。
综上所述，方程f(x)=0的解为x=1。

(II) 求两个问题。
(1)k的取值范围；(2)比较大小：1/x1+1/x2与4
(1)解析：∵函数g(x)=x2+kx+|x2-1|
当x<-1时，g(x)=2x2+kx-1 (a)
当-1<x<1时，g(x)=kx+1 (b)
当x>1时，g(x)=2x2+kx-1 (c)
若方程g(x)=0在(0,2)上恰有两个根x1,x2
∴由(b)可知：kx+1=0==>x=1,k=-1
由(c)令g(x)=2x2+kx-1=0
x1=[-k-√(k^2+8)]/4, x2=[-k+√(k^2+8)]/4
令[-k+√(k^2+8)]/4<2
[-k+√(k^2+8)]/4<2==>√(k^2+8)<8+k==>k>-3.5
综上：-3.5<k<-1

(2)解析：1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1x2)
由(b)可知，2/7<X1=[g(x)-1]/k<1，∴1<1/x1<3.5
由(c)可知，1<x2<2==>1/2<1/x2<1
∵k=-1时，x1=x2=1
K=-3.5时， x1=2/7,x2=2
∴2<1/x1+1/x2<4