Question

已知直线l：y=-x+b与抛物线y2=4x相交于A、B两点，|AB|=8．（1）求直线l的方程；（2）求抛物线上横坐标为1

已知直线l：y=-x+b与抛物线y2=4x相交于A、B两点，|AB|=8．（1）求直线l的方程；（2）求抛物线上横坐标为1的点D与点A、B构成的△DAB的面积；（3）设P（x，y）是抛物线上的动点，试用x或y来讨论△PAB面积S的取值范围．

Answer 1

（1）把y=-x+b代入y²=4x得x²-2（b+2）x+b²=0．
令△＞0，得b＞-1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

2

(x1+x2)2?4x1x2

＝8，
∴

b+1

＝

2

，b＝1，
∴直线的方程为y=-x+1．
（2）设D （1，y₀），代入y ²=4x，得y₀=±2．
因此得到D点坐标：D （1，2 ） 或D′（1，-2）
点D（D′）到直线y=-x+1的距离d＝

|1±2?1|

2

＝

2

．
∴△DAB的面积为4

2

．
（3）设与直线y=-x+1平行且距离为

2

的直线为y=-x+t，得t=-1或3，
y=-x-1与 y ²=4 x的交点仅有一个为 （1，-2），
y=-x+3与y ²=4 x的交点为 （1，2），（9，-6）．
y=-x+1与y²=4x的交点为(3?2

2

，?2+2

2

)，(3+2

2

，?2?2

2

)
∴当y_P∈{-2，2，-6}时，S＝4

2

．
当yP∈(?6，?2?2

2

)∪(?2?2

2

，?2)∪(?2，?2+2

2

)∪(?2+2

2

，2)时，S∈(0，4

2

)．
当y_P∈（-∞，-6）∪（2，+∞）时，S∈(4

2

，+∞)．