Question

如图所示，已知抛物线C:x²=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点，过点B作y轴的

如图所示，已知抛物线C:x²=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)。
⑴证明:动点D在定直线上
⑵作C的任意一条切线L,(不含x轴)，与直线y=2相交于点N1，与⑴中的定直线相交于点N2，证明:lMN2l²-lMN1l²为定值，并求此定值

Answer 1

(1)
令A(a, a²/4), B(b, b²/4)
AB：(y - b²/4)/(a²/4 - b²/4) = (x - b)/(a - b)
过M(0, 2), 从上式可得b = -8/a
BD: x = -8/a
OA: y = ax/4, D(-8/a, -2)
D在y = -2上

(2)
取抛物线上的点P(p, p²/4)
y = x²/4, y' = x/2
过P的切线斜率：k = p/2
切线: y - p²/4 = (p/2)(x - p)

令y = 2, x = c/2 + 4/c, N1(c/2 + 4/c, 2)
取y = -2，x = c/2 - 4/c, N2(c/2 - 4/c, -2)
|MN1|² = (c/2 + 4/c)² = c²/4 + 4 + 16/c²
|MN2|² = (c/2 - 4/c)² + (2 + 2)² = c²/4 - 4 + 16/c² + 16
|MN2|² - |MN1|² = 8

追问

可以把第一问求得b=-8/a那里的过程写出来吗？为什么我化简出来的跟你不一样?

追答