Question

如图所示，已知圆C：（x+1） 2 +y 2 =8，顶点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足

如图所示，已知圆C：（x+1） 2 +y 2 =8，顶点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足 AM =2 AP ， NP ? AM =0，点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|．

Answer 1

（1）设点N的坐标为（x，y），∵ AM =2 AP ，∴点P为AM的中点， ∵ NP ? AM =0，∴NP⊥AM，∴NP是线段AM的垂直平分线，∴NM=NA， 又点N在CM上，设圆的半径是 r，则 r=2 2 ， ∴NC=r-NM，∴NC+NM=NC+NA=r=2 2 ＞AC，∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆， ∵2a=2 2 ，c=1，∴b=1，∴椭圆  x 2 2 +y 2 =1，即曲线E的方程： x 2 2 +y 2 =1． （2）∵过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，∴直线l方程为 y-0=x-1， 代入曲线E的方程得：3x 2 -4x=0，∴x 1 +x 2 = 2 3 ，x 1 ?x 2 =0， 由弦长公式得：|HQ|= 1+1 ? ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = 2 2 3 ，