Question

如图所示，已知圆C：(x+1) 2 +y 2 =8，定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足 ，点

如图所示，已知圆C：(x+1) 2 +y 2 =8，定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足 ，点N的轨迹为曲线E，（1）求曲线E的方程；（2）过点S（0， ）且斜率为k的动直线l交曲线E于A、B两点，在y轴上是否存在定点G，满足 使四边形NAPB为矩形？若存在，求出G的坐标和四边形NAPB面积的最大值；若不存在，说明理由。

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Answer 1

解：（1） ， ∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|， 又 ， ∴ ， ∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆， 且椭圆长轴长为 ，焦距2c=2， ∴ ， ∴曲线E的方程为 。 （2）动直线l的方程为： ， 由 ，得 ， 设 ， 则 ， 假设在y上存在定点G（0，m），满足题设， 则 ， ， 由假设得对于任意的 恒成立，即 ，解得m=1。 因此，在y轴上存在定点G，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点G的坐标为（0，1）， 这时，点G到AB的距离 ， ， 设 ，则 ， 得 ， 所以 ， 当且仅当 时，上式等号成立。 因此，GAPB面积的最大值是 。