Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；求CF，BC，CD三条线段之间的关系．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC．
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，
∴∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC-∠DAC=∠FAD-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF．
在△ABD和△ACF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF．
∵BC=BD+CD，
∴CF+CD=BC；

（2）CF=BC+CD
理由：解：如图2，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC．
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，
∴∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC+∠DAC=∠FAD+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF．
在△ABD和△ACF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF．
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；

（3）CD=BC+CF
解：如图3，：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC．
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，
∴∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC-∠BAF=∠FAD-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF．
在△ABD和△ACF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF．
∵DC=BD+BC，
∴CD=CF+BC．