Question

如图所示，两个半径为R的四分之一圆弧构成的光滑细管道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线O1O2

如图所示，两个半径为R的四分之一圆弧构成的光滑细管道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线O1O2水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为m的小球接触（不栓接，小球的直径略小于管的内径），长为R的薄板DE置于水平面上，板的左端D到管道右端C的水平距离为R．开始时弹簧处于锁定状态，具有的弹性势能为3mgR，其中g为重力加速度．解除锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从C点抛出．（1）求小球经C点时的动能；（2）求小球经C点时所受的弹力；（3）讨论弹簧锁定时弹性势能满足什么条件，从C点抛出的小球才能击中薄板DE．

Answer 1

（1）解除弹簧锁定后小球运动到C点过程，弹簧和小球系统机械能守恒，
由机械能守恒定律得：3mgR=2mgR+E_k，解得：E_k=mgR；
（2）小球过C时的动能：Ek＝

1

2

mv2，
设小球经过C点时轨道对小球的作用力为F，
由牛顿第二定律得：mg+F＝

mv2

R

，
解得：F=mg，方向向下；
（3）小球离开C点后做平抛运动，
竖直方向：2R＝

1

2

gt2，
水平方向：x₁=v₁t，
若要小球击中薄板，应满足：R≤x₁≤2R，
弹簧的弹性势能：E_P=2mgR+

1

2

m

v

2 1

，
弹性势能E_P满足：

17

8

mgR≤Ep≤

5

2

mgR时，小球才能击中薄板；
答：（1）小球经C点时的动能为mgR；
（2）小球经C点时所受的弹力为mg，方向向下；
（3）当

17

8

mgR≤Ep≤

5

2

mgR时，从C点抛出的小球才能击中薄板DE．