Question

已知圆C 1 的参数方程为 x=cosφ y=sinφ （φ为参数），以坐标原点O

已知圆C 1 的参数方程为 x=cosφ y=sinφ （φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ+ π 3 ) ．（I）将圆C 1 的参数方程化为普通方程，将圆C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程；（II）圆C 1 、C 2 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

Answer 1

（I）由 x=cosφ y=sinφ 得x 2 +y 2 =1即为圆C 1 的普通方程． 又∵ρ=2cos（θ+ π 3 ）=cosθ- 3 sinθ， ∴ρ 2 =ρcosθ- 3 ρsinθ． ∴x 2 +y 2 -x+ 3 y=0，即 (x- 1 2 ) 2 +(y+ 3 2 ) 2 =1 ． （II）圆心距 d= (0- 1 2 ) 2 + (0+ 3 2 ) 2 =1＜2 ，得两圆相交． 由两圆的方程联立得 x 2 + y 2 =1 (x- 1 2 ) 2 +(y+ 3 2 ) 2 =1 ，解得 x=1 y=0 或 x=- 1 2 y=- 3 2 即A（1，0），B (- 1 2 ，- 3 2 ) ， ∴ |AB|= (1+ 1 2 ) 2 +(0+ 3 2 ) 2 = 3 ．