Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小．

Answer 1

解答：（I）证明：设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁的中点．

在△ABC₁中，连接OD，∵D，O分别为AB，BC₁的中点，
∴OD为△ABC₁的中位线，
∴OD∥AC₁，
又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）解：∵AC∥A₁C₁，
∴异面直线AC与BC₁所成的角为∠BC₁A₁，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，
∴A₁B²=AA₁²+AB²=41，BC₁²=CC₁²+BC²=32，A₁C₁²=9，
∴A₁B²=BC₁²+A₁C₁²，
∴∠A₁C₁B=90°，
∴异面直线AC与BC₁所成角的大小为90°．