Question

设函数f（x）=x 2 +|x-2|-1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值

设函数f（x）=x 2 +|x-2|-1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

（1）f（x）= x 2 +x-3 x≥2 x 2 -x+1，x＜2. 若f（x）奇函数，则f（-x）=-f（x）所以f（0）=-f（0），即f（0）=0． ∵f（0）=1≠0， ∴f（x）不是R上的奇函数． 又∵f（1）=1，f（-1）=3，f（1）≠f（-1）， ∴f（x）不是偶函数． 故f（x）是非奇非偶的函数． （2）当x≥2时，f（x）=x 2 +x-3，为二次函数，对称轴为直线x= - 1 2 ， 则f（x）为[2，∞）上的增函数，此时f（x） min =f（2）=3． 当x＜2时，f（x）=x 2 -x+1，为二次函数，对称轴为直线x= 1 2 则f（x）在（-∞， 1 2 ）上为减函数，在[ 1 2 ，2）上为增函数， 此时f（x） min =f（ 1 2 ）= 3 4 ． 综上，f（x） min = 3 4 ．