Question

如图，在平面直角坐标系中，点C（-4，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，线段OA、OB的长度都是方程x2

如图，在平面直角坐标系中，点C（-4，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，线段OA、OB的长度都是方程x2-3x+2=0的解，且OB＞OA．若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．（1）判断三角形ABC的形状并求出△AOP的面积S关于点P的运动时间t秒的函数关系式．（2）在点P的运动过程中，利用备用图1探究，求△AOP周长最短时点P运动的时间．（3）在点P的运动过程中，利用备用图2探究，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x²-3x+2=0，
∴（x-1）（x-2）=0，
∴x₁=1，x₂=2，
∴AO=1，0B=2．
∵OC=4，
∴OB²=OA?OC=4，
∴

OA

OB

=

OB

OC

，
又∵∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠BCO，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC为直角三角形．
如图，作PD⊥AC于D．
∵PC=t，PD∥OB，
∴△CDP∽△COB，
∴

PD

OB

＝

CP

CB

，
∴PD=

OB?CP

CB

=

2t

2 5

=

5 t

5

，
∴S_△AOP=

1

2

OA?PD=

1

2

×1×

5 t

5

=

5

10

t，
即S=

5

10

t；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（0，2），C（-4，0），
∴