Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC=16．（1）∠COA

如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC=16．（1）∠COA的值为______；（2）求∠CAB的度数；（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

（1）过A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，
则∠ANO=∠AMO=∠COB=90°，
∵A（4，4），
∴AN=AM=4，
∴四边形NOMA是正方形，
∴∠COA=

1

2

∠COB=

1

2

×90°=45°．
故答案为：45°；                                               
（2）∵四边形NOMA是正方形，
∴AM=AN=4，OM=ON=4，
∴

1

2

OC×AN+

1

2

OB×AM=16，
∴OC+OB=8=ON+OM，
即ON-OC=OB-OM，
∴CN=BM，
在△ANC和△AMB中，

AN＝AM ∠ANC＝∠AMB NC＝MB

，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠NAC=∠MAB，
∴∠CAB=∠CAM+∠MAB=∠NAM=360°-90°-90°-90°=90°，
即∠CAB=90°；
（3）MN=2OH，
证明：在Rt△OMH中，∠HON+∠NMO+∠NOM=90°，
又∵∠NOM=45°，∠HON=∠NMO，
∴∠HON=∠NMO=22.5°，
延长OH至点P使PH=OH，连接MP交OA于L，
∴OM=MP，∠OMP=2∠OMN=45°，
∴∠HON=∠NMO=∠LMN，
∴∠OLM=90°=∠PLO，
∴OL=ML，
在△OLP和△MLN中，

∠PLO＝∠NLM OL＝LM ∠POL＝∠LMN＝22.5°

∴△OLP≌△MLN（ASA），
∴MN=OP，
∵OP=2HO，
∴MN=2HO．