Question

设f（x）=-13x3+12x2+2ax．（1）当a=1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在（23，+∞）上存在单调递增区

设f（x）=-13x3+12x2+2ax．（1）当a=1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在（23，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2x，
f′（x）=-x²+x+2，
由f′（x）=0，得x=-1，或x=2，
由f′（x）＜0，得x＜-1或x＞2，
由f′（x）＞0，得-1＜x＜2，
∴f（x）的减区间为（-∞，-1），（2，+∞），
f（x）的增区间为（-1，2）．
∴f（x）_极小值=f（-1）=-

7

6

；f（x）_极大值=f（2）=

10

3

．
（2）f′（x）=-x²+x+2a=-（x-

1

2

）²+

1

4

+2a，
当x∈[

2

3

，+∞）时，
f′（x）的最大值为f′(

2

3

)=

2

9

+2a，
令

2

9

+2a＞0，得a＞-

1

9

．
∴当a＞-

1

9

时，f（x）在（

2

3

，+∞）上存在单调递增区间．