Question

（2013?明溪县质检）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边作等边△ACD．等边△BCE，连接AE、BD分别

（2013?明溪县质检）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边作等边△ACD．等边△BCE，连接AE、BD分别交CD、CE于M、N两．（1）求证：AE=BD；（2）判断直线MN与AB的位置关系；（3）若AB=10，当点C在AB上运动时，是否存在一个位置使MN的长最大？若存在请求出此时AC的长以及MN的长．若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ACD和△BCE均为等边三角形，
∴DC=AC，EC=BC，且∠DCB=∠ACE=120°，
∵在△DCB和△ACE中，

DC＝AC ∠DCB＝∠ACE EC＝BC

，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；

（2）MN∥AB．
理由如下：由（1）可知△DCB≌△ACE，
∴∠NBC=∠MEC，
又∵∠MCE=180°-60°-60°=60°，
∴∠NCB=∠MCE=60°，
∵在△NCB和△MCE中，

∠NBC＝∠MEC BC＝EC ∠NCB＝∠MCE

，
∴△NCB≌△MCE（ASA），
∴CN=CM，
又∵∠MCE=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠NMC=∠ACD=60°，
∴MN∥AB；

（3）设AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，
∴

MN

AC

=

EN

EC

，
又∵CB=EC=10-x，CN=y，EN=10-x-y，
∴

y

x

=

10?x?y

10?x

，
整理得，y=-

1

10

x²+x，
配方得y=-

1

10

（x-5）²+2.5（0＜x＜10），
∴当x=5cm时，线段MN有最大值2.5cm．