Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E为PB中点（1）求证；平面A

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E为PB中点（1）求证；平面ACE⊥面ABCD；（2）求三棱锥P-EDC的体积．

Answer 1

（1）证明：设AC∩BD=0，连EO，则EO∥PD，
∵PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
又∵EO?平面ACE，∴平面EDB⊥平面ABCD．…（4分）
（2）解：作DH⊥DC交BC于H，
∵平面PDC⊥平面ABCD，∴OH⊥平面PDC，
又∵EO∥PDC，EO?平面PDC，PC?平面PDC，
∴OE∥平面PDC，
∴点E到平面PDC距离就是点O到平面PDC的距离OH．…（8分）
在△HOD中，OH=

3

2

asin30°=

3

4

a
设点E到平面PDC的距离为d，
则d=

3

4

a，S△PBC=

1

2

a2，
∴VP-EDC=VE-PDC=

1

3

dS△PDC=

3

24

a3．…（12分）