Question

设a为实数，函数f（x）=x2e-x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）当x＞0时，恒有aex＞x2，求a的取值

设a为实数，函数f（x）=x2e-x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）当x＞0时，恒有aex＞x2，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知f（x）的定义域为R，f′（x）=e^-x（2x-x²），令f′（x）=0?x=0或2，
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减	极小值	增	极大值	减

由上表可知f（x）_极小值=f（0）=2a；f(x)极大值＝f(2)＝

4

e2

+2a．       …（6分）
（Ⅱ）由ae^x＞x²?a＞

x2

ex

＝x2e?x，∴3a＞x²e^-x+2a，?x∈（0，+∞）
令f（x）=x²e^-x+2a，由（Ⅰ）可知：当x∈（0，+∞）时，x=2时，f（x）_min=f（2）=

4

e2

+2a，
所以3a＞

4

e2

+2a?a＞

4

e2

…（12分）