Question

已知数列{an}满足：ak-1+ak+1≥2ak（k=2，3，…）．（Ⅰ）若a1=2，a2=5，a4=11，求a3的值；（Ⅱ）若a1=a2

已知数列{an}满足：ak-1+ak+1≥2ak（k=2，3，…）．（Ⅰ）若a1=2，a2=5，a4=11，求a3的值；（Ⅱ）若a1=a2014=a，证明：ak+1-ak≥ak+1?ak且ak≤a，（k=1，2，…，2014）．

Answer 1

（Ⅰ）解：由条件知：a_k+1≥2a_k-a_k-1，从而a₃≥2a₂-a₁=8，a₄≥2a₃-a₂≥11
又a₄=11，∴2a₃-a₂=11，a₃=8；
（Ⅱ）证明：由a_k-1+a_k+1≥2a_k，得a_k+1-a_k＞a_k-a_k-1，
则a₂₀₁₄-a₂₀₁₃≥a₂₀₁₃-a₂₀₁₂≥a₂₀₁₂-a₂₀₁₁≥…≥a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1≥…≥a₃-a₂≥a₂-a₁，
前2014-k项相加，得：a₂₀₁₄-a_k=a-a_k≥（2014-k）（a_k+1-a_k），
后k项相加，得：k（a_k+1-a_k）≥a_k+1-a₁=a_k+1-a．
从而ak+1?ak≥

ak+1?a

k

．
后k-1项相加，得：（k-1）（a_k-a_k-1）≥a_k-a₁．
从而，

a2014?ak

2014?k

≥ak+1?ak≥ak?ak?1≥

ak?a1

k?1

，
得（k-1）a₂₀₁₄-（k-1）a_k≥（2014-k）a_k-（2014-k）a₁，
即（k-1）a₂₀₁₄+（2014-k）a₁≥2013a_k．
∴ak≤

k?1

2013

a2014+

2014?k

2013

a1．
∵a₁=a₂₀₁₄=a，代入上式得：a_k≤a．