Question

在正三棱锥S-ABC中，外接球的表面积为36π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA=（　　

在正三棱锥S-ABC中，外接球的表面积为36π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA=（　　）A．1B．2C．3D．23

Answer 1

取AC的中点E，连结BD、SE，
∵三棱锥S-ABC正棱锥，∴SA=SC，BA=BC．
又∵E为AC的中点，∴SE⊥AC且BE⊥AC
∵SE、BE是平面SBE内的相交直线，
∴AC⊥平面SBE，可得SB⊥AC
又∵MN是△SBC的中位线，
∴MN∥SB，可得MN⊥AC
又∵MN⊥AM且AM∩AC=A，
∴MN⊥平面SAC，结合MN∥SB，可得SB⊥平面SAC
又∵三棱锥S-ABC是正三棱锥，
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，
因此将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
设球的半径为R，可得4πR²=36π，解得R=3，
∴

3

SA＝2R＝6，解之得SA=2

3

故选：D