Question

在正三棱锥S-ABC中，M为棱SC上异于端点的点，且SB⊥AM，若侧棱SA=3，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是_

在正三棱锥S-ABC中，M为棱SC上异于端点的点，且SB⊥AM，若侧棱SA=3，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是______．

Answer 1

取AC中点，连接BN、SN
∵N为AC中点，SA=SC
∴AC⊥SN，同理AC⊥BN，
∵SN∩BN=N
∴AC⊥平面SBN
∵SB?平面SBN
∴AC⊥SB
∵SB⊥AM且AC∩AM=A
∴SB⊥平面SAC?SB⊥SA且SB⊥AC
∵三棱锥S-ABC是正三棱锥
∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．
∵侧棱SA=

3

，
∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R=

SA2+SB2+SC2

=3
外接球的半径为R=

3

2

∴正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是S=4πR²=9π
故答案为9π